导读  本文首先介绍了曾在数学发展史上产生过重大影响的“阿基里斯和龟”悖论，并给出了它的数学回答。然后从哲学的角度对这个悖论加以分析，以揭示产生这一悖论的哲学原因。文中使用的哲学是辩证唯物主义哲学，因此本文可以看作是自然科学对哲学加以支持的一个佐证。

问题  （“阿基里斯和龟”悖论） 设一只乌龟在阿基里斯前方100米的地方向前爬行，阿基里斯在后面跑步追赶乌龟。假设阿基里斯的速度是乌龟的100倍，阿基里斯每秒跑100米，乌龟每秒爬1米，当阿基里斯花1秒钟时间跑出100米时，乌龟向前爬出了1米，当阿基里斯又花1/100秒时间跑完乌龟新爬出的1米时，乌龟在这段时间里又向前爬出了1/100米。于是这样不断地“追—爬—追—爬”，阿基里斯将总是在为追赶乌龟新爬出的一段距离而疲于奔命，从而永远无法追上乌龟。

数学解释  早在大约公元前450年，古希腊一位叫芝诺的学者，曾提出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“阿基里斯和龟”悖论就是其中较为著名的一个。阿基里斯是希腊神话中的战神，没有人会相信他竟会追不上前方100米处的一只乌龟。但是按照芝诺的描述，阿基里斯似乎确实永远都无法追赶上乌龟。这是怎么回事呢？

我们来看另一个问题，把一张白纸对折裁成两半，取其中一半，再对折裁成两半，……，这样反复进行下去，我们可以得到无数多的小纸片，它们的面积分别是原来的白纸的面积的1/2，1/4，1/8，…，可是这无穷多的小纸片拼在一起，其面积还是等于原来白纸的面积。换句话说，这无穷多个数加在一起，其结果却是一个有限的数。

现在来看阿基里斯追乌龟的问题，已知乌龟与阿基里斯的速度比是1/100，阿基里斯跑完第一个100米时，乌龟爬了1米，阿基里斯又跑完1米时，乌龟爬了1/100米，…，因此阿基里斯要追上乌龟，他必须跑完100米，1米，1/100米，1/10,000米…这无穷多段路程。我们知道这是一个公比为1/100的无穷等比数列，它的和应该等于第一项除以1减去公比的差。于是这个和 S = 100 + 1 + 1/100 + … = 100/（1-1/100）= 101.0101…。也就是说，阿基里斯只要跑过101米多一点的距离，就可以追上乌龟了，而这只要1秒多一点点。这同前面白纸面积的问题是一致的，即虽然有无限多个数相加在一起，但其和却可以是一个有限数。

哲学解释  阿基里斯追赶乌龟的路程是一空间概念；其所花的时间是一时间概念。因此这个悖论涉及到时空观的问题。按照辩证唯物主义哲学观点，时空既有绝对性，又有相对性；既是无限的，又是有限的；其有限性与无限性是辩证统一的。整个物质世界在时间和空间上是无限的，因此我们可以按照芝诺的方法对距离和时间进行无穷的分割，并求它们的和。而任一具体事物的时间和空间都是有限的，即在时间上是暂时的，在空间上是有限的。因此我们不能让整个追赶过程停留在“追—爬—追—爬”这一无穷分割过程上从而永无止境。芝诺的诡辩之处在于，他割裂了时空有限与无限的统一性，只承认时空的无限性，不承认时空的有限性，将整个物质世界的无限性同具体事物的有限性混淆到一起，给人造成一种“明明是有限，却又是无限”的错觉。其本质还是在于没有认清“物质的运动是绝对的，静止是相对的，运动与静止是辩证统一的”这一哲学观点，因而是一种形而上学的观点。

辩证唯物主义哲学是我接触到的比较完善的哲学。在哲学基本问题上它坚持唯物主义，从自然科学的角度讲，我们的现有科学确实证实了有这样的一个物质世界，它的存在，包括它的各种客观规律不被任何人的意识或某种“绝对观念”所左右（关于社会学和历史观本文暂且不谈）。而它的辩证法则是解决实际问题的一种相当强有力的武器（拟于后面的文章中结合实例加以说明）。

P.S.  这是第一次在空间中放入哲学类的文章，不知道文章表述的是否清楚。有任何不妥之处，恳请大家批评指正。